${\left( {x + \sqrt {{x^3} - 1} } \right)^5} + {\left( {x - \sqrt {{x^3} - 1} } \right)^5},\left( {x > 1} \right)$ ના વિસ્તરણમાં એકી ઘાતવાળા તમામ પદોનાં સહગુણકોનો સરવાળો . . . . છે. 

જો બધા ધન પૂર્ણાંક  $r> 1, n > 2$ માટે $( 1 + x)^{2n}$  ના વિસ્તરણમાં $x$ ની ઘાત $(3r)$ અને  $(r + 2)$ ના સહગુણક સરખા હોય તો $n$ ની કિમત મેળવો. 

 ધારો કે $\alpha=\sum_{r=0}^n\left(4 r^2+2 r+1\right)^n C_r$ અને $\beta=\left(\sum_{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1}\right)+\frac{1}{n+1} \cdot$ જો $140 < \frac{2 \alpha}{\beta}<281$ તો $n$ નું મૂલ્ય .......... છે.

ધારો કે  $\alpha=\sum_{k=0}^n\left(\frac{\left({ }^n C_k\right)^2}{k+1}\right)$ અને  $\beta=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{{ }^n C_k{ }^n C_{k+1}}{k+2}\right)$. છે. જો  $5 \alpha=6 \beta$, હોય તો  $n$=...........................

${(x + 3)^{n - 1}} + {(x + 3)^{n - 2}}(x + 2)$$ + {(x + 3)^{n - 3}}{(x + 2)^2} + ... + {(x + 2)^{n - 1}}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^r}[0 \le r \le (n - 1)]$ નો સહગુણક મેળવો.

જો ${C_r}$ એ $^n{C_r}$ દર્શાવે છે તો , $\frac{{2(n/2)!(n/2)!}}{{n!}}[C_0^2 - 2C_1^2 + 3C_2^2 - ..... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^2]$ મેળવો. (કે જ્યાં $n$ એ યુગ્મ પુર્ણાક છે )